O Ensino Revista mensal de pedagogia, literatura, artes e officios 1918-1919. Jun-Dez

O ENSINO 73 ~~......,_,..,_,,~ II I Seja-me licito voltar ainda uma vez á carga, para dar o remate ne.cessario it ex– planaç110 deste assumpto. Para os que sabem g·eneraliza.r em rna– thernatica e, por co usequencia, elevam o es– píri to acima das particularizações numcr icas inhere ntes ao calculo dos valores e, pene– trando os humbraes da Geoinet1·ia Geral ou Analytica- premunidos, j á. se vê, com o indispensavel cabedal alg·elJrico - firmam-se na intima correlaçit0, na perfeitíssima har– moni a que existe entre as leis da Geome– tri a e da l\iecanica e as suas ima.gens ana– lyticas ou sejam as equaçõe~ que as tr~d~1- zem; par11, os que não têm pe1as no esp1n to e s:LO capazes de abranger com o pensa– mento tL extensilo illimitada dest,l.S leis; para estes se me afi g·um foci l a apprehensào do verd adeiro papel dos signaes concretos + e -, como elementos algebricos. Convencionado que as distmH:ias ej am estimadas positivamente de baixo para ci– ma e dada a exactis ima corres pondencia entre as relações geometricas e as a lgebri– ca , nrw padece duvida que a sxpres fio re– lativa a cada pos içào é tanto maior ou mais po itiva quanto ma is alta é esta. Argumentemos. 'abido, por exemplo, que •m coordenadas rectilineas, no phino, = a e y= -b representam rectas parnllelas ao eixo das ab ci Sílti ou dos x, a primei nt si– tuada acimll. e a ultima abaixo deste e ixo, não é plau ivel que, em se tratando elas ·ituaçõe relativn, · elas dita rectas, se e - <'reva a<- b, a inda que, ab,trab indo- e do 8ignal - , ·e ten ha a<b. A c.·pre s;LO ve rdadeira em caso tae3 é a> - b, assim como, para uma rerta coincidindo com o e ixo dos x (cuja reprc,entaçào é y = o), e. - creYe riamos o> - b. Do contrario, quebraríamos esta mutua corres pondencia, til.o importante e1n .Geonu·– ti-ia Annlylfra. Identico raciocín io i'· appli– cavd ás expressões x=a e x=- u, quer•– presc ntam recta 1111ndl el!t ao eixo das or– denadas ~ x= o, qu e ,representa este eixo. ~ o systema cartesiano x" + y 2 = r 2 re- 11resenta um circulo <·om o centro 11a ori– gem e nest.a equaçfto para .·=o, re·11lta y=.::J-:r, se ndo r a ordenada do ponto mais 1·– levaao e - r a do menos ele vado da cir– cumferencia. Como expnmir que o primeiro ponto está. situado !Wperiormente ao segun– do, sin iw escrevendo r > - r ? Do mesmo modo, o centro (que corresponde a x= o, y=o), achando-se superior ao ponto cuja ordenada é -r, devemos exprimir a rela– ção destas posições as im: o>-:-- r. Consul temos, por fim , um exemplo pum– mente a.1111.lytico e que mui prop icio me pa– rece a evidenciar como e com que ,insteza se casam, nesta ordem de considerações, a , consequen,~ias logicas COJH as consequenciw; obser vadas. E ' conhecida a propri edade quo permitte de termin ar a situação de certos valores em rela~to ús raízes do trinomio do segundo gTi°10 (chamamo ~ raíz es do tri– nomio as da &qua<;ào que resul ta de se o egualar a zero : a im , as r:tiz~:; rio triuo– mio ax 2 + bx + t, u.o as mesmas da equa– çuo ax-' +hx+ c= o). E ta, propriedade re– sume-se 110 seg-uinte 1h eorema: o trinomio do segundo gráo consei·ua o signal do seu pi·imeiro te,-mo JJara quclqiier _valo1· de .;; ncio comprehemlido entre os das ~uas 1·aize., P. toma o signal cont,·m·io para todo valor da vw·iavel romp,-ehendido entre os das ili:– tas ,·aizes. Dêmos pc,r de111011strado · este theore111a, de cuja the e ·e desdobra, por ass im rli zt'r, toda a di scuss~LO ll0 tri 11 u1nio do seo•undo ~ /!'rá.O. Soj_a, poi , n_m tri uomio, OH qualff uer <'X· pre ao algebnca que se euouadre na tlis– cus· 1lo do typo trinominal ax• '+ bx + e. Ana– lys<'~lO atravé da propri ed(lde e11u11ciada , o tnno111 1u x• + 4x - ~l (que . e assimila ao t.ypo,. faz endo- e :t.= 1, b=4 e c=-.l l ', ·11jas ra iz(• ' àu 3 e -7. S i neste tri nomi ~ so ubstituir a variuvel, succe ' •ivarne11tt' , por i, 1, O, - 1, - 2, - o, - 4, - f> , ,: - G, r<'s1~ltarn de r_ad~ ub t itui <;ft0 u111 valor 11 r – gat1vo , o que 111d1ca e tarem todos e ·tes nu– mcro curnpreh endidos e 11 tre as ra ize do ~r inomio_(cujo pri~1eiro termo é pos iti vo) t' isto eqtUYale a di zer: maiore ' elo qu 11nm 1' 11w11ore do. qt~e a outra. Si - ~. por e– x •mplo, Aubst1tn1r a variavel, o valor • do